关于数学均匀化方法的周期边界条件
在复合材料力学中，数学均匀化方法或者叫二尺度均匀化方法得到广泛的应用，特别是确定复合材料的有效性能问题中。 我们知道对于复合材料等效模量，单胞的周期边界条件可用固定边界条件（边界法向固定）来表达，也可用等位移边界条件（对边位移相等），然后对整体施加单位初应变来求解。但如果用均匀化方法求复合材料的等效导热系数，周期边界条件如何表达呢？在软件中应该如何设定这个条件。应该施加温度周期边界条件？ 参考
[url]http://www.simwe.com/forum/viewthread.php?tid=751909&highlight=%CF%B8%B9%DB%C1%A6%D1%A7[/url] 看了老大总结的资料，受益匪浅。资料中主要是证明和推导了周期边界条件 ，而我关心的是周期边界条件的实现。比如在均匀化方法求力学有效性能的的周期边界条件，一般来说可视为等位移边界条件，对一个单胞来说，就是上下，左右对边位移相等，即广义位移对应相等。而为了便于计算，我们通常用固定边界条件代替等位移边界条件，即强制单胞的边的法向位移为零。固定边界条件可看作等位移边界条件的特殊形式，得到的结果也是相近的。
对复合材料热学有效性能的周期边界条件，应该是单胞满足温度周期边界条件，即单胞对边温度相等，我们可称之为等温度边界条件，仿照力学中的情况，等温度边界条件也可用固定温度边界条件来代替，即强制单胞的对边温度为0。
总之，将等位移（温度）边界条件用固定边界条件来代替，其目的是为了容易编程和实施，也便于在现有商业软件上二次开发均匀化程序，从繁琐的有限元编程中解脱出来。 对于力学的周期边界条件建立后，根据数学均匀化方法，要施加单位初应变，在力学中可通过定义热膨胀系数来施加单位初应变。
我想问的是，在热学中，建立周期边界条件后(零温度边界条件），也要施加一个单位温度梯度，请问这个单位温度梯度在商业软件中用什么量来施加呢，也就是找一个类似力学中热膨胀系数的物理量？我卡在这里了。力学中，热膨胀系数乘以温度就是初应变，在热学中，温度梯度通过什么来实现呢？
欢迎各位指点迷津。 To: ma
Much of your considers are wrong! You need reexamine the homogenization method.
E.g.
而为了便于计算，我们通常用固定边界条件代替等位移边界条件，即强制单胞的边的法向位移为零。
=> It's definitely WRONG! You can easily impose periodic condition into your linear equations if you have program of yor own and most commercial FEM software can impose such condtion.
AND
也要施加一个单位温度梯度
-> Examine your homogenization equation once again. Generally you needn't do so explicitly. 而为了便于计算，我们通常用固定边界条件代替等位移边界条件，即强制单胞的边的法向位移为零。
这个没错阿，许多文献都是这么处理的阿，我也用了很多次，没什么问题啊，固定边界条件计算的结果和等位移边界条件计算的结果是一致的。制单胞的边的法向位移为零，其实就是周期性边界条件的一种特殊形式。 [quote]原帖由 [i]ma[/i] 于 2008-6-18 00:52 发表 [url=http://www.simwe.com/forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1361416&ptid=837406][img]http://www.simwe.com/forum/images/common/back.gif[/img][/url]
看了老大总结的资料，受益匪浅。资料中主要是证明和推导了周期边界条件 ，而我关心的是周期边界条件的实现。比如在均匀化方法求力学有效性能的的周期边界条件，一般来说可视为等位移边界条件，对一个单胞来说，就是上 ... [/quote]
文中已经给出了周期位移条件的表达，可以直接进行有限元实现
你的对所加的边界条件描述比较模糊，看不明白，
周期边界条件只是施加一个位移梯度而已，当然为了删去rigid body motion，只需要固定代表单元的任一点的位移即可。 在有限元实现中，周期性边界条件可以有几种实现方法:一种是可以通过引入罚函
数的方法实现，此方法实现简单，但会引起一定的数值问题; 一种可以将对边对
应节点编号藕合(编号相同)，这种方法虽然会给节点编号带来一定困难，但是可以减
少自由度数，提高计算效率。这种方法让四角点的位移藕合相等，对边对应节点和位移分别相等，内部节点位移独立。注意到平面问题需要约束三个自由度去除刚体位移，对应节点位移藕合本身己经约束了旋转自由度，所以为了消除刚体位移，只需再任选一个节点约束平动自由度即可。 最后一种方法，就是干脆采用固定边界条件，四个角节点强制位移为0，左右，上下对边上的节点法向固定。 这几种方法都是可用的，计算结果也都是没问题的。
但固定边界条件，在商业软件上最容易实现。
固定边界后，通过热膨胀系数，施加单向初应变就可以了。
这个应该是没问题的。 [b][font=黑体][size=15pt]代表体元和边界条件的建立[/size][/font][/b]
[font=宋体][size=12pt]对于周期性细观结构，可以取出一个代表体元进行分析，如图[/size][/font][font=宋体][size=12pt]所示。对代表体元施加周期性边界条件以反映细观结构及其变形的周期性[/size][/font][size=12pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=12pt]。[/size][/font] 上图中的边界条件相当于周期性边界条件的简化，即固定边界条件。
举一个均匀化的例子
如图，取复合材料的单胞，绿色代表基体，MP,EX,1,72e3
MP,PRXY,1,0.33
紫色代表纤维相
MPDATA,EX,2,,30e3
MPDATA,PRXY,2,,0.33
用均匀化方法计算整个复合材料的等效刚度。
具体实施：
在商业有限元软件上实现，
1.周期边界条件用固定边界条件代替，即四个角结点固定，对边位移法向固定。
2.施加周期边界条件后，整体施加单位初应变，先在横向施加单位初应变，可计算出等效刚度系数C11，C12
3.y向施加单位初应变，可计算出等效刚度系数C22
程序中，单位初应变是通过热膨胀系数这个技巧来实现的。 算出的计算结果
C11 = 60626.7203
C12 = 28069.6629
C22 = 60626.7203 我觉得通过商业软件实现均匀化程序需要一些技巧，
比如周期性边界条件 需要简化为固定边界条件。
另外施加的单位初应变可通过热膨胀系数来实现。
似乎周期性边界条件怎么处理的都有，
1.一种等位移法，对边位移相等，但这样在软件里不好实现，要编程，引入罚函
数。
2.另一种就是上例采用的固定边界条件，让位移强制等于零就行了，反正周期边界条件要求对边位移相等，固定边界条件直接让相应的位移等于零，当然也叫相等，这样做最容易在商业软件上实现。
3.最近看了些文献，似乎还有不同的处理方式，下面贴上来供大家讨论一下。 上面主要交流下，均匀化理论在力学领域中的应用，
其实这种方法可广泛应用于其他领域，比如热学，电学等等，只要涉及到周期性复合材料性能等效的，都可用这种方法。
下面举个求复合材料等效导热系数的例子和大家讨论一下。
具体推导不再赘述，力学是关于位移渐进展开，在热学中，对温度渐进展开。
下面是文献中对应的简单公式，以及边界条件的处理。 上面这个对复合材料等效导热系数的系数的均匀化推导没有问题，形式也和力学的等效模量差不多，但有关加载条件似乎和等效模量那个不怎么一样。
我们在力学中，对单胞施加特征应变。
在这里作者好像是考虑两种材料不同的导热系数不同 引起的跳跃扰动，把这个跳跃当作加载条件分两种工况加到单胞上，第一个工况在x方向加载，可求得x方向的等效导热系数，第二工况在y向加载，求得y方向的等效导热系数。
但照着这种方法作了几个例题，总是不对头，这个扰动 k1-k2 怎么加，加到什么地方，周期边界条件又是怎么处理的？现在还没有完全搞清楚。大家能理解的多多指点一下，
发现这个均匀化公式推导都差不多，但具体处理起来还是有点不一样，觉得还是没有理解其精髓，均匀化这个东西还是有点难的，个人认为。 如果上文中的导热系数，可以通过所谓的跳跃扰动加载，把那个跳跃量加到单胞上。
那对于力学等效模量，也应该可以通过这种方法对单胞进行加载，由于两种材料性能参数不一样，也会产生跳跃，我想用这种方法试一试，但却没有成功 ，究竟这个跳跃怎么加，往哪加呢？ It seems like you have read some and know WHAT some researchers have done but you really do not know WHY they do so!
1. About periodic condition.
It is suggested to read the first two chapters of following book
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Namet-Nasser, S. & Hori, M. (1993) Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials, Elsevier Sci. Pub., Netherland
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Generally speaking, periodic boundary condition provides a estimation on material constant between upper and lower bound. Constant displacement condition gives upper bound and constant traction gives a lower bound. NOTHING about 固定边界条件. DON'T DO SO!, It has no theroretical basis.
Pls also read
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Guedes, J. M., Kikuchi, N. (1990) Preprocessing and postprocessing for materials based on the homogenization method with adaptive finite element method. Comput. Method Appl. Mech. Engng., 83,143~198
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It give some graphics on Characteristic displacement distribution in RVE. You can read what you are wrong.
2. If you really want to use your own boundary condition. Don't say
正周期边界条件要求对边位移相等，固定边界条件直接让相应的位移等于零，当然也叫相等.
It is meaningless! You can say use the condition of 固定边界条件. You obtains... .
Then WHAT it means? You consider it! Physically it do has some meaning but is is irrelevent to periodic condition.
3. Periodic condition may be implementd QUITE QUITE QUITE EASILY in software such as ABAQUS! 呵呵，谢谢hillyuan，我知道周期边界条件可以在abaqus中可以很容易地实现，应该是通过节点耦合的方法，使得对边位移相等，然后给任意一个节点施加一个平动位移，这个其实和固定边界条件是等效的，只不过固定边界是它的进一步简化。
另外一点，如果在ABAQUS中施加你所说的周期边界条件， 那载荷是施加什么，怎么施加？也是施加初应变？
第三个问题，请老大对上面那个等效导热系数的跳跃加载发表一下高见，我还是理解不了其精髓。 如果采用固定边界条件，（老大别见怪，我说顺口了，），对单胞施加单位初应变，然后对有限元计算的位移结果通过简单的积分程序就可求得等效刚度系数。
如果在ABAQUS中施加周期边界条件（等位移边界条件）,另外也要施加单位初应变吗？从均匀化推导来看，除了周期边界条件，还要对单胞施加一个单位初应变，请问这个如何实现。我仿照以前的方法，施加等位移周期边界条件，然后通过热膨胀系数 alpha乘以温度 来施加单向热膨胀系数，怎么得到的结果有问题呢，好像不对，但如果将单胞的周期边界条件用固定边界条件来代替结果就没问题，难道这两种加载不一样嘛？从均匀化推导来看，除了周期边界条件，还要对单胞施加一个单位初应变啊？这个要怎么处理啊？ hillyuan，你所说的在ABAQUS中的周期边界条件是不是这样
ux(x=0) ＝0； uy（y＝0）＝0； ux（x＝L/2 ) ＝ Constant1; uy(y=L/2)= constant2; L 为单胞的周期长度。我取的四分之一模型，在x=0，y=0这两个面上用的对称。
在施加过程中，然后就是首先在x=L/2 面上随便找一个点 (A), 然后所有这个面上其他的点与这个点（A）的 Ux 相等(耦合）。
（用EQUATION应该可以实现，定义的时候，把SURFACE定义成一个SET，把这上面的一个点定义成一个SET，然后把SURFACE里面的这个点SET去除掉，操作时可以点击编辑SURFACE-SET，然后手按住CTRAL然后单击这个点SET，这个点就会变成粉色，然后确定就可以了。
然后使用EQUATION，第一列系数列写-1，1，第二列是SET名，上面一行是面SET，下面一行是点SET，第三列是你要使其所要保持的哪个方向的位移协调，比如是三方向，就写3，3。）
但我觉得这个边界条件严格来说并不是周期边界条件 ，周期边界条件 是 单胞 对边位移相等 ，而在 X=0处 用的对称 ，这就说明你的左右两边 和上下两边 位移数值相等，但方向相反 ，周期边界条件要求对边位移相等，方向也相等。 [quote]原帖由 [i]ma[/i] 于 2008-6-19 01:12 发表 [url=http://www.simwe.com/forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1362294&ptid=837406][img]http://www.simwe.com/forum/images/common/back.gif[/img][/url]
hillyuan，你所说的在ABAQUS中的周期边界条件是不是这样
ux(x=0) ＝0； uy（y＝0）＝0； ux（x＝L/2 ) ＝ Constant1; uy(y=L/2)= constant2; L 为单胞的周期长度。我取的四分之一模型，在x=0，y=0这两个面上用的对 ... [/quote]
[quote]原帖由 [i]aresaran[/i] 于 2008-6-18 13:11 发表
文中已经给出了周期位移条件的表达，可以直接进行有限元实现
你的对所加的边界条件描述比较模糊，看不明白，
周期边界条件只是施加一个位移梯度而已，当然为了删去rigid body motion，只需要固定代表单元的任一点 ... [/quote]
你的边界条件是错误的，这根本不是周期边界条件，
你似乎不理解我帖子里面说的什么
在abaqus中需要用EQUATION约束左右和上下两边的对应节点位移，让其满足位移梯度 To ma:
1. About periodic condition
Pls refer to answer of aresaran
2. About 跳跃扰动加载?( A strange term!!!!)
It is right hand of your (2.18). Just do intergration inside your RVE.
3. About 对单胞施加一个单位初应变
An equation like your (2.18) exists. Just do integration over your RVE. It maybe something like
Integral over RVE ( elastic matrix D* strain-disp matrix B)
In 3D problem, it obtains a matrix with 6 columns, which correspond to e11, e22, e33, e12, e23, e31, respectively. [quote]原帖由 [i]aresaran[/i] 于 2008-6-19 07:47 发表 [url=http://www.simwe.com./forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1362316&ptid=837406][img]http://www.simwe.com./forum/images/common/back.gif[/img][/url]
你的边界条件是错误的，这根本不是周期边界条件，
你似乎不理解我帖子里面说的什么
在abaqus中需要用EQUATION约束左右和上下两边的对应节点位移，让其满足位移梯度 [/quote]
to [color=#000000]aresaran[/color],看来我对这个周期边界条件还是理解不到家，我看了你发的那个pdf，好像你说的周期条件，右边的位移等于左边的位移加上一个宏观应变。你所说的 “在abaqus中需要用EQUATION约束左右和上下两边的对应节点位移，让其满足位移梯度 ”
我可以这样理解吗？就用 equation 让左边各个节点约束x向位移相等，让右边也约束各节点x向相等，同样上下边约束y向位移相等，（即令4个边位移约束）。我想问的是 要不要 左边各节点 和右边各节点 约束相等，还有上下两个边节点对应相等？如果这样的话，那不就是让单胞平动吗？
另一个问题，是加上周期边界条件，还要对单胞加载吗？比如施加初应变等，版主你所说的：“用EQUATION约束左右和上下两边的对应节点位移，让其满足位移梯度” 让其满足位移梯度，这句话怎么理解，怎么让它满足位移梯度呢？能详细讲讲吗，谢谢版主，争取这几天把这个问题彻底搞定，很有收获！ [quote]原帖由 [i]hillyuan[/i] 于 2008-6-19 09:50 发表 [url=http://www.simwe.com./forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1362392&ptid=837406][img]http://www.simwe.com./forum/images/common/back.gif[/img][/url]
To ma:
1. About periodic condition
Pls refer to answer of aresaran
2. About 跳跃扰动加载?( A strange term!!!!)
It is right hand of your (2.18). Just do intergration inside your RVE.
... [/quote]
to [color=#000000]hillyuan[/color]， 你和版主都是细观力学方面的专家，这几天看了你们的回复，受益匪浅，希望两位老大能彻底把我教会。
上文中，你提到那个扰动的加载量和单位初应变等都包含在积分里面，所以要通过对单胞域求积分来体现。
那样就通过编程了，我的意思，能不能在商业软件比如abaqus中直接把这个体现出来，或者直接加上去。
就像固定边界条件那样阿，我把单胞固定后，然后在软件中对单胞整体设定一个热膨胀系数比如1，然后升温1度，这样就相当于施加了单位初应变，而且在ansys或者abaqus中直接通过材料参数实现，然后对有限元计算结果通过编程进行一下后处理就可以得到均匀化的等效刚度。 问题是如果我用的周期边界条件，还能不能通过这样的方法施加单位初应变来实现？ 谢谢，一定要把这个问题彻底搞明白，老大多多指点！
我画了简单的图，两位帮我看看我理解的周期边界条件对不对
两位帮我看看我理解的周期边界条件对不对。谢谢了[[i] 本帖最后由 ma 于 2008-6-19 11:06 编辑 [/i]] 好像不对
这东西真够麻烦的
为什么说很容易呢 /FILNAME,ma,1
/PREP7
a=10
b=10
ALPH=0
TEMP=0
ET,1,PLANE42
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,2,0
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MP,EX,1,72e3
MP,PRXY,1,0.33
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,2,,30e3
MPDATA,PRXY,2,,0.33
RECTNG,0,a,0,b
allsel,
esize,1
TYPE,1
MAT,1
MSHAPE,0,2D
MSHKEY,1
amesh,all
csys,0
nsel,s,loc,x,a/6,5*a/6
nsel,r,loc,y,b/6,5*b/6
ESLN,S,0
MPCHG,2,all,
allsel
nsel,S,LOC,X,0
nsel,U,LOC,Y,0
nsel,U,LOC,Y,b
CP,1,UX,all
CP,2,UY,all
*GET,zuo,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,a
nsel,U,LOC,Y,0
nsel,U,LOC,Y,b
CP,3,UX,all
CP,4,UY,all
*GET,you,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,y,0
nsel,U,LOC,x,0
nsel,U,LOC,x,a
CP,5,UX,all
CP,6,UY,all
*GET,xia,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,y,b
nsel,U,LOC,x,0
nsel,U,LOC,x,a
CP,7,UX,all
CP,8,UY,all
*GET,shang,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,0
nsel,r,LOC,Y,b
*GET,zs,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,a
nsel,r,LOC,Y,0
*GET,yx,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,0
nsel,r,LOC,Y,0
*GET,zx,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,a
nsel,r,LOC,Y,b
*GET,ys,NODE,,NUM,MIN
ALLSEL,
TUNIF,TEMP,
ALLSEL,
ALLSEL
NPLOT
FINISH
/SOL
SOLVE
FINISH
[[i] 本帖最后由 ma 于 2008-6-25 09:06 编辑 [/i]] 还是搞不定 两位版主能不能把问题说得明白一点呢我把我画的单胞和写的周期边界条件的word文档发一下看看能否帮我改一下有的时候在web上说，很难领会所说的意图！ u1=u7; v1=v7; w1=w7
u2=u8; v2=v8; w2=w8
...
Pay attention: u1<>u2; v1<>v2; w1<>w2! 谢谢老大 终于把你盼来了
这样写边界条件 不就是平动了吗
应该算不出结果的吧 重新改了周期边界条件
/FILNAME,ma,1
/PREP7
a=10
b=10
ET,1,PLANE42
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,2,0
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MP,EX,1,72e3
MP,PRXY,1,0.33
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,2,,30e3
MPDATA,PRXY,2,,0.33
RECTNG,0,a,0,b
allsel,
esize,1
TYPE,1
MAT,1
MSHAPE,0,2D
MSHKEY,1
amesh,all
csys,0
nsel,s,loc,x,a/6,5*a/6
nsel,r,loc,y,b/6,5*b/6
ESLN,S,0
MPCHG,2,all,
allsel
nsel,S,LOC,X,0
nsel,r,LOC,Y,b
*GET,zs,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,a
nsel,r,LOC,Y,0
*GET,yx,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,0
nsel,r,LOC,Y,0
*GET,zx,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,X,a
nsel,r,LOC,Y,b
*GET,ys,NODE,,NUM,MIN
nsel,S,LOC,y,0
*GET,COUNnode1,node,,COUNT
nsel,s,LOC,x,a/(COUNnode1-1)
nsel,R,LOC,Y,b
*GET,N1,NODE,,NUM,MAX
nsel,s,LOC,x,a/(COUNnode1-1)
nsel,R,LOC,Y,0
NPLOT
FINISH
/SOL
SOLVE
FINISH
[[i] 本帖最后由 ma 于 2008-6-25 09:09 编辑 [/i]] 单胞 左上 角节点约束x向位移
左下 角节点约束x，y向位移
取右下角节点 施加一个平动x向位移 a
以上这三个约束也是周期边界条件的一部份吗？
[[i] 本帖最后由 ma 于 2008-6-19 19:23 编辑 [/i]] 上图那个周期边界条件，完全是按照斑竹原来贴的那个pdf文件中提到的周期边界条件形式写的，如下图所示
现在就是不明白那个所谓的宏观应变怎么施加在单胞上。 经过近几天对复合材料均匀化理论及其边界条件的探索和思考，终于把以前不理解的东西彻底搞清楚了，现在可以理直气壮地与两位高人讨论了，hillyuan和 斑竹ares各自所说的周期边界条件含义是不同的，虽然都称之为周期边界条件，但含义并不完全相同，看来在学术上的有些名称也要规范一下了，不然容易让人造成错觉。周期边界，等位移边界，固定边界这三种适用范围是不同的，但对复合材料等效性能，分别采用这三种条件都可以得出正确的结果，但基于的理论公式有些是不同的，感兴趣者看参见我发的另一个帖子：“复合材料均匀化理论中的周期边界条件，等位移边界条件，固定边界条件之区别”。用这三种条件，通过不同的处理，都可得到一致的结果。
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